IV.数这个概念

样，属于纯逻辑。这里考虑的不是关系的特殊内容，而仅谈逻辑形式。而且关于这种逻辑形式可以谈论的是：它的真是分析的，并被看作先验的。这适合于其他概念，同样适合于关系概念。

    正像

    “a处于F这个概念之下”

    是一个涉及一个对象a的可判断内容的普遍形式一样，也可以把 “a与b有φ关系”

    看作一个涉及对象a和涉及对象b的可判断内容的普遍形式。 §71.如果现在每个处于F这个概念之下的对象都与一个处于G这个概念之下的对象有φ这种关系，而且如果一个处于F之下的对象与处于G这个概念之下的每个对象有φ关系，那么处于F和G下的对象就通过φ关系相互对应起来。

    人们还可以问，如果F这个概念之下根本没有对象，那么

    “每个处于F之下的对象都与一个处于G之下的对象有φ这种关系”

    这个表达意谓什么。我把它理解为：无论a表示什么， “a处于F之下”

    和 “a与处于G之下的任何对象都没有φ这种关系”

    这两个句子不能并存，因而要么前一个句子是假的，要么后一个句子是假的，要么两个句子都是假的。由此可知，如果不存在处于F之下的对象，那么“每个处于F之下的对象与一个处于G之下的对象都有φ这种关系”，因为在这种条件下，无论a可能是什么，总能够否定第一个句子 “a处于F之下”。

    同样， “一个处于F之下的对象与每个处于G之下的对象有φ这种关系”

    这个句子意谓：无论a可能是什么， “a处于G之下”

    和 “任何处于F之下的对象都与a没有φ这种关系”

    不能并存。 §72.现在我们已经看到，处于F和G这两个概念之下的对象什么时候通过φ这种关系相互对应。但是在我们这里，这种对应应该是相互一一对应。我的理解是，这说明下面两个句子郁是有效的：

    1.如果d与a有φ这种关系，并且如果d与e有φ这种关系，那么一般来说，无论d、a和e可能是什么，a与e相同。

    2.如果d与a有φ这种关系，并且如果b与a有φ这种关系，那么一般来说，无论d、b和a可能是什么，d与b相同。

    以此我们把相互一一对应的关系化归为纯逻辑关系。现在我们可以如下定义：

    “F这个概念与G这个概念是等数的”

    这个表达与 “存在一种关系φ，它使处于F这个概念之下的对象与处于G之下的对象相互一一对应”

    这个表达具有相同的意谓。 我重复说一遍：

    属于F这个概念的数是“与F这个概念等数的”这个概念的外延，

    我还要补充说： “n是一个数”

    这个表达与 “存在一个这样的概念，n是属于它的这个数”

    这个表达具有相同的意谓。 以这种方式数这个概念得到解释，当然表面上是通过它自身得到解释的，但是实际上却没有错误，因为“属于F这个概念的这个数”已经得到解释。

    §73.现在我们想首先说明，如果F这个概念是与G这个概念等数的，那么属于F这个概念的数就与属于G这个概念的数相等。当然，听上去这像是同语反复，但实际上不是，因为“等数的”这个词的意谓不是从这种复合构成得出的，而是从上面给定的解释得出的。

    根据我们的定义应该表明，如果F这个概念与G这个概念是等数的，那么“与F这个概念等数的”这个概念的外延与“与G这个概念等数的”这个概念的外延相同。换句话说，必须证明，在这一前提下，

    如果H这个概念是与F这个概念等数的，那么它与G这个概念也是等数的

    和 如果H这个概念是与G这个概念等数的，那么它与F这个概念也是等数的

    这两个句子是普遍有效的。第一个句子的结果是：如果存在一个关系φ，它使处于F这个概念之下的对象与处于G这个概念之下的对象相互一一对应，而且如果存在一个关系ψ，它使处于H这个概念之下的对象与处于F这个概念之下的对象相互一一对应，那么就存在一种关系，它使处于H这个概念之下的对象与处于G这个概念之下的对象相互一一对应。下面的字母排列将更清楚地表明这一点： HψFψG。

    实际上可以给出这样一种关系：它在下面这个句子的内容中

    “存在一个对象，c与它有ψ这种关系，而它与b有φ这种关系”，

    如果我们从中把c和b分离出来（看作关系点）。人们可以表明，这种关系是一种相互一一对应的关系，而且它使处于H这个概念之下的对象与处于G这个概念之下的对象相对应。 以类似的方式也可以证明另一个句子。 [12] 但愿这些说明能够足以使人们认识到，这里我们不必以直觉作任何证明的依据，而且，我们的定义可以有一些用处。

    §74.现在我们可以过渡到对个别的数的解释。

    由于在“与自身不相等”这个概念之下没有任何东西，因此我解释说：

    0是适合“与自身不相等”这个概念的这个数。

    也许人们会提出异议，认为我在这里是谈论一个概念。也许人们会提出反对意见，认为这里包含一个矛盾，而且人们还会想起木质的铁和方形的圆这些老生常谈。我却认为，这些老生常谈根本没有人们说的那么糟糕。尽管它们不会直接有用处，但是它们也不会造成任何危害，只是不要假设一些东西处于它们之下；而且人们还没有由于仅仅使用这些概念就作出这样的假定。一个概念含有矛盾，这并非总是显而易见得不需要进行任何研究；为了进行研究，人们必须首先有这个概念，并且像对其他概念那样对它进行逻辑探讨。从逻辑的观点出发，而且为了证明过程的严格性，人们能够对一个概念提出的全部要求就是它要有鲜明的界限，使得对每个对象来说，它是否处于这个概念之下，都是确定的。而像“与自身不相等”这样包含矛盾的概念却完全满足这种要求。因为人们知道，任何对象都不处于这样一个概念之下。 [13]

    我是这样使用“概念”一词的：

    “a处于F这个概念之下”

    是一种可判断的内容的普遍形式，这个内容涉及一个对象a，并且无论用什么替代a，这个内容依然是可判断的。而在这种意义下， “a处于‘与自身不相等’这个概念之下”

    与 “a与自身不相等”

    或 “a不等于a”

    是有相同意谓的。 我本可以用没有东西处于其下的别的任何概念来定义0，但是对我来说，重要的是选择这样一个概念，关于它能够用纯逻辑方法证明这一点；而“与自身不相等”这个概念最适合这一目的，这里，我赞同前面引用的莱布尼兹对“相等的”的纯逻辑的解释。

    §75.现在，必须能够借助前面的规定证明，每一个没有东西处于其下的概念与其他每一个没有东西处于其下的概念是等数的，并且仅与这样一个概念是等数的，由此得出，0是属于这样一个概念的数，而且如果属于一个概念的数是0，那么就没有对象处于这个概念之下。

    如果我们假定，一个对象既不处于F这个概念之下，也不处于G这个概念之下，那么为了证明等数性，我们必须有一种关系φ，对这种关系φ来说，下面的句子是有效的：

    每个处于F之下的对象与一个处于G之下的对象有φ这种关系；一个处于F之下的对象与每个处于G之下的对象有φ这种关系。

    根据前面关于这些表达式的意谓的论述可以看出，根据我们这些假定，每个关系都满足这些条件，因而相等也满足这些条件，此外相等还是相互一一对应的；因为它对于上面为此提出的两个要求都是有效的。

    相反，如果一个对象，譬如a，处于G之下，而没有任何对象处于F之下，那么

    “a处于G之下”

    和 “任何处于F之下的对象与a都没有φ这种关系”

    这两个句子对各个φ关系共同成立；因为第一个句子依据第一个假定是正确的，第二个句子根据第二个假定是正确的。就是说，如果不存在任何处于F之下的对象，那么也就没有任何与a有任何关系的对象。因而就没有下面的关系，根据我们的解释，这种关系使处于F之下的对象与处于G之下的对象相对应，因此F这个概念和G这个概念不是等数的。 §76.现在我要解释自然数序列中每两个相邻项的相互关系。假定

    “存在一个概念F和处于它之下的这样一个对象x，使得属于F这个概念的数是n，而属于‘处于F之下但不等于x’这个概念的数是m”

    这个句子与 “n在自然数序列中紧跟m”

    这个句子具有相同的意谓。 我避免用“n是跟在m后面的这个数”这个表达，因为为了证明这个定冠词的合理性，必须先证明两个句子。 [14] 出于同样的原因，我在这里尚不说“n=m+1”；因为通过等号，（m+1）也被表示成为对象。

    §77.现在，为了达到1这个数，我们必须首先表明，存在某种东西，它在自然数序列中紧跟着0。

    让我们考虑下面这个概念————或者，如果人们愿意的话，让我们考虑下面这个谓词————“与0相等”。0处于这个概念之下。却没有对象处于“与0相等但不与0相等”这个概念之下，因而0是属于这个概念的数。据此我们就有一个概念“与0相等”和一个处于它之下的对象0，对于它们来说，下面的句子是有效的：

    属于“与0相等”这个概念的这个数与属于“与0相等”这个概念的这个数相等；

    属于“与0相等但不与0相等”这个概念的这个数是0。

    因此根据我们的解释，属于“与0相等”这个概念的这个数在自然数序列中紧跟0。

    如果我们现在定义：

    1是属于“与0相等”这个概念的这个数，

    那么我们可以把上一句话表达为： 1在自然数序列中紧跟0。

    为了1的客观合理性，对1的定义不假定任何观察的事实， [15] 说明这一点也许不是多余的；因为人们很容易混淆下面的情况：为了使我们可以做出这个定义，必须满足一定的主观条件；一些感觉经验促使我们作出这个定义。 [16] 感觉经验毕竟可以是合乎实际的，同时推出的句子又不会不再是先验的。例如，这些条件也包含以下的情况：大量优质血液流经大脑————至少据我们所知是这样；但是我们上一个句子的真却不依赖于这种情况；即使不再发生这样的情况，它依然存在；而且即使有一天所有理性动物会同时进入冬眠，这个句子的真也不会随之中断，而是完全不受影响。一个句子的真恰恰不是这个句子的被思考的东西。

    §78.这里我可以得出几个能够借助我们的定义证明的句子。读者将很容易看到如何进行证明。

    1.如果a在自然数序列中紧跟0，那么a=1。

    2.如果1是属于一个概念的这个数，那么存在一个对象，它处于这个概念之下。

    3.如果1是属于一个概念F的这个数；如果x这个对象处于F这个概念之下，并且如果y处于F这个概念之下，那么x=y；即x是与y相同的。

    4.如果一个对象处于一个概念F之下，并且，如果从x处于F这个概念之下并且y处于F这个概念之下可以普遍地推出x=y,那么1就是属于F这个概念的这个数。

    5.通过

    “n在自然数序列中紧跟m”

    这个句子确定的m与n的这种关系，是一种相互一一对应的关系。

    在此还没有说，对每个数都存在另一个数，它在数序列中紧跟前者或者前者在数序列中紧跟它。

    6.除0以外，每个数在自然数序列中都紧跟一个数。

    §79.为了能够证明，对自然数系列的每一个数（n）都有一个数紧跟，人们必须指出一个这后一个数所属于的概念。我们选择

    “属于以n结束的自然数序列的项”

    作为这个概念，首先必须对此进行解释。 首先，我以一种稍有不同的方式重复我在《概念文字》中所综合的关于一系列推论的定义。

    “如果x与之有φ关系的每个对象处于F这个概念之下，而且如果由d处于F这个概念之下普遍地得出，无论d是什么，d与之有φ关系的每个对象都处于F这个概念之下，那么y就处于F这个概念之下，无论F可能表示什么概念”

    这个句子与 “y在这个φ序列中跟着x”

    和 “x在这个φ序列中在y之前”

    是意谓相同的。 §80.对此做几点评述将不是多余的。由于φ这种关系可以是不确定的，因此不能以空间和时间对应的形式来考虑这种序列，尽管不排除这些情况。

    人们也许会以为另一种解释更自然一些，例如：如果从x出发，把注意力总是从一个对象转移到它与之有φ关系的另一个对象上，而且如果以这种方式最终能够达到y，那就可以说，y在这个φ序列中跟着x。

    这是研究这个问题的一种方式，而不是定义。我们在注意力游移时是否达到y，可能取决于主观上各种各样的附加情况，例如取决于供我们支配的时间，或取决于我们对事物的认识。y是否在这个φ序列中跟着x，一般来说与我们的注意力和转移注意力的条件没有任何关系，这是某种事实的东西，就像一片绿叶反映出某种光线，无论它现在是不是被我看见并唤起我的感觉，就像一粒盐在水里是可溶的一样，无论我是不是把它扔到水里并观察这个溶解过程，即使我根本不可能进行这样的尝试，它仍然是可溶的。

    通过我的解释，这个问题从主观可能性的领域提高到客观确定性的领域。实际上，从一定的句子得出另一个句子，这是客观的东西，是不依赖于我们的注意力的活动规律的东西，我们得不得出这个结论都无所谓。这里我们有一个标志，凡是在可以提出这个问题的地方，都可以普遍地判定它，即使在个别的情况下，外在的困难阻碍我们不能判定这情况是否合适时，也是如此。对于问题本身，这是无关紧要的。

    我们不必总是从头到尾审查从开始项到一个对象之间的所有中间项，以便确定这个对象跟着那个项。例如，如果看到在这个φ序列中b跟着a，c跟着b，就可以根据我们的解释推论，c跟着a，甚至不必知道其中间项。

    仅通过对一个序列中后继的这种定义，就可以把n到（n+1 ）这种表面上是数学固有的推理方式化归为普遍的逻辑规律。

    §81.如果我们现在有这样一种关系作关系φ，即通过

    “n在自然数序列中紧跟m”

    这个句子建立起m到n的关系，我们就不说“φ序列”，而说“自然数序列”。 我进一步定义：

    “y在这个φ序列中跟着x或者y与x相同”

    这个句子与 “y隶属以x开始的这个φ序列”

    这个句子和 “x隶属以y结束的这个φ序列”

    这个句子是意谓相同的。 因此，a隶属以n结束的自然数序列，如果n要么在这个自然数序列中跟着a，要么n与a相等。 [17]

    §82.现在应该表明，（在尚需要得到说明的条件下）属于

    “隶属以n结束的自然数序列”

    这个概念的这个数，在这个自然数序列中紧跟n。因此在这种情况下就证明，存在一个在自然数序列中紧跟着n的数；这个序列没有最后一个项。这个句子显然是无法用经验方法或归纳法建立起来的。 在这里若是给出这个证明本身，就会离题太远。可以仅仅简要提示一下证明过程。应该证明

    1.如果a在自然数序列中紧跟d，而且如果对于d而言，属于

    “隶属以d结束的这个自然数序列”

    这个概念的这个数在这个自然数序列中紧跟d，这是有效的，那么对于a而言，属于

    “隶属以a结束的这个自然数序列”

    这个概念的这个数，在这个自然数序列中紧跟a，这也是有效的。

    其次，应该证明，在刚才论述d和a的句子中所陈述的东西，对于0是有效的，然后应该得出，这对于n也是有效的。如果n属于以0开始的这个自然数序列。当必须把关于d和关于a，关于0和关于n的那个共同陈述当作概念F时，这种推论方式就是我关于

    “y在这个自然数序列中跟着x”

    这个表达式所给出的定义的应用。 §83.为了证明上一节1这个句子，我们必须表明，a是属于“隶属以a结束的这个自然数序列但不等于a”这个概念的数。而为了表明这一点，又必须证明，这个概念与“隶属以d结束的这个自然数序列”这个概念的外延相等。为此，人们需要下面这个句子：任何隶属以0开始的这个自然数序列的对象在这个自然数序列中都不能跟着自己。这一点也必须借助我们关于一个序列的后继的定义证明。 [18]

    由此我们不得不为属于

    “隶属以n结束的自然数序列”

    这个概念的这个数在这个自然数序列中也紧跟着n的这个句子补充一个条件，即n隶属以0开始的自然数序列。为此通常用一种更简略的表达方式，我把这种方式解释为： “n属于以0开始的自然数序列”

    这个句子与 “n是一个有穷数”

    这个句子是意谓相同的。 于是我们可以把最后这个句子表达如下：在自然数序列中任何有穷数都不跟着自己。

    * * *

    [1] 这里不应该与下面的情况相混淆，即“和”只是表面上联结主词，实际上却联结两个句子。

    [2] 反过来也是如此：如果属于F这个概念的这个数与属于G这个概念的这个数相同，那么F这个概念与G这个概念就是等数的。

    [3] 由一个概念对处于其下的对象进行定义，则与上述情况完全不同。例如，“这个最大的真分数”这个表达没有内容，因为定冠词要求指向一个确定的对象。而“小于1并且任何小于1的分数在数量上都不超过它的分数”这个概念却是毫无问题的，而且为了能够证明没有这样的分数，人们甚至需要这个概念，尽管它含有一个矛盾。但是如果人们想通过这个概念确定一个处于它之下的对象，那么无论如何都必须先说明两点：

    1.一个对象处于这个概念之下；

    2.只有一个唯一的对象处于这个概念之下。

    由于这其中的第一个句子已经是假的，因而“这个最大的真分数”这个概念是无意义的。

    [4] 参看注释。

    [5] 没有普遍性的句子。

    [6] 参见埃德曼：《几何学公理》（Die Axiome der Geometrie,S.164）。

    [7] 如果n不是数，那么只有n本身隶属以n结束的自然数序列。但愿人们不会对这种表达不满。

    [8] 施罗德（《算术和代数课本》，第63页）似乎把这个句子看作是另一种可想象的标记方式的结果。这里人们也可以注意到那种影响到他对该问题的整个描述的弊病，即人们不大知道，数是不是一个符号，而且如果它是一个符号，那么什么是这个符号的意谓，或者这个数是否正是这个符号的意谓。人们规定不同的符号，因而同一个符号绝不反复出现。由此尚得不出，这些符号也意谓不同的东西。

    无穷数

    §84.与有穷数相对的是无穷数。属于“有穷数”这个概念的那个数是一个无穷数。譬如，让我们用∞1来表示它。如果它是一个有穷数，在自然数序列中它就不能跟着自己。但是我们可能表明，∞1跟着自己。

    在以这种方式解释的无穷数∞1中，不存在任何神秘或奇异的东西。“属于F这个概念的这个数是∞1”不多不少恰恰是说：有一种关系，它使处于F这个概念之下的对象与有穷数相互一一对应。根据我们的解释，这是一种完全清楚的和没有歧义的意义；而且这足以证明使用∞1这个符号的合理性并且保证它有一个意谓。我们无法形成一个关于无穷数的表象，这是完全不重要的，对于有穷数同样是这样。因此∞1这个数有某种与任何一个有穷数同样确定的东西：毫无疑问可以把它作为相同的东西予以重认，并且可以把它与其他东西区别开来。

    §85.不久以前，康托尔在一篇出色的论文 [19] 中引入了无穷数。我完全同意他对只能把有穷数看作是现实的这种观点的评价。有穷数不是感官可感觉的和空间的，分数、负数、无理数和复数也不是；而且，如果人们把对感官起作用的东西或者至少对感官知觉有影响从而产生或远或近结果的东西叫作现实的，那么这些数当然都不是现实的。但是，我们甚至根本不需要这些感觉作为我们定理的证明根据。我们在研究中可以大胆地使用逻辑上没有任何异议地引入的名称或符号，因而我们的∞1这个数就像二或三一样是合理的。

    我在这里（正像我相信的那样）与康托尔是一致的，但是我使用术语与他有所不同。他把我的数叫做“幂”（Mächtigkeit），而他关于数的概念 [20] 却涉及对应。对于有穷数来说，当然有一种不依赖于序列的性质，而对于无穷大的数来说就不是如此。现在，“数”这个词和“多少？”这个问题的语言用法不包含对确定对应的提示。康托尔的数其实是回答这样一个问题：“在一个顺序中第多少个项是最后一个项？”因此我觉得我的术语更符合语言用法。如果人们扩展一个语词的意谓，人们就必须要注意，尽可能多的普遍句子获得其有效性，而且有时是非常基础性的作用，就像数的那种独立于序列的性质一样。我们根本不必进行任何扩展，因为我们关于数概念也直接包括无穷数。

    §86.康托尔为了得到无穷数，引入了“一个顺序中的后继”这个关系概念，这个概念与我的“一个序列中的后继”这个概念不同。例如，根据他的观点，如果把有穷的正整数进行排列，使得奇数在其自然数序列中一个跟着另一个，而且偶数也是一个跟着另一个，并且还要规定，每一个偶数要跟着每个奇数，那么就会形成一个顺序。在这个顺序中，例如，0会跟在13后面。但是任何数都不会直接出现在0前面。这正是一种在我定义的序列的后继中不能出现的情况。人们可以不利用直觉公理而严格证明，如果y在φ序列中跟着x，那么就存在一个对象，它在这个序列中直接出现在y前面。我觉得现在依然缺少对顺序中的后继和康托尔的数的精确定义。这样康托尔求助某种神秘的“内在直觉”，而这里本来应该努力并且也许可以从定义出发进行证明。因为我相信可以预见那些概念是如何能够得到确定的。无论如何，我并不想通过这些评述对它们的合理性和富有成果性提出任何批评。相反，我赞同在这种研究中对于科学的扩展，尤其是因为通过这种扩展，开辟了一条通往更高的无穷大数（幂）的纯算术的道路。

    * * *

    [1] 《一种普遍多样性学说的基础》（Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkaitslehre,Leipzig,1883）。

    [2] 看上去，这个表达可能与前面提出的概念的客观性相矛盾；但是在这里只有称谓是主观的。