V.结论

人们说：“加法”这个名字应该只给予一个thetische、完全单值的、结合的运算。但是这样还根本没有说明那些现在应该叫作加法的运算。因此没有任何东西阻碍人们把乘法叫作加法并用（a +b）来表示，而且没有任何人能够明确地说，2+3是5还是6。

    §100.如果我们放弃这种纯形式的思考方法，下面的情况似乎就可以提供一种办法：随着新数的引入，扩展了“和”和“积”这些词的意谓。人们选用一个对象，譬如月亮，人们解释说：月亮以自身相乘得-1。这样我们就以月亮得到一个-1的平方根。这个解释似乎是允许的，因为迄今为止从乘法的意谓还根本没有出现过这样一种乘积的意义，因而在扩展这个意谓时可以进行任意规定。但是我们也需要带有-1的平方根的实数积。因此最好让我们选择一秒钟的时间间歇作-1的平方根并用i表示它！这样，我们将把3i理解为3秒钟的时间间歇，等等。 [10] 在这种条件下，譬如我们以2+3i将表示什么对象呢？在这种情况下加号会得到什么意谓呢？对此，现在必须作出具有普遍性的规定，当然这不是件容易的事情。然而让我们假定：我们保证所有a+bi这种形式的符号都有一种意义，而且是这样一种意义，即已知的加法规律对它们都是有效的。这样，我们就必须进一步规定，

    （a+bi）（c+di）=ac-bd+i（ab+bc）

    应该是普遍的，由此我们将会进一步规定乘法。 §101.现在，如果我们知道由复数的相等得出实在部分的相等，我们就能够证明表示cos（n a）的公式。这必然得自a+bi的意义，而我们在这里已经假定了这种意义是现有的。这个证明只会对我们已经规定的复数的意义、复数的和与积的意义有效。现在由于对于整实数n和实数a来说，i根本不再在这个等式中出现，因而人们想推论：因此，只要我们的加法和乘法规律是有效的，那么i是意谓一秒钟，还是意谓一毫米，还是意谓其他什么东西，则是完全无关紧要的；只有这些规律是重要的；我们不必费心去考虑其他东西。也许人们能够以不同的方式规定a+bi的意谓、和与积的意谓，使那些规律继续有效；但是，人们在这些表达式中是不是确实能够发现这样一种意义，却不是至关重要的。

    §102.人们常常是这样做的，好像仅提出要求就是满足了要求。人们要求，减法、 [11] 除法、开方总是可行的，并且相信以此能够进行足够的运算。为什么人们不要求通过任意三点划出一条直线呢？为什么人们不要求所有加法和乘法规律对一个三维的复数系统就像对一个实数系统那样是有效的呢？因为这种要求有矛盾。啊，这样一来，人们就必须先证明其他那些要求没有矛盾！在人们证明这一点之前，所有全力以赴为之努力的严格性不过是虚无缥缈的东西。

    在几何学定理中，并不出现为了证明而划出的那条辅助线。也许可能有许多条这样的线，例如，当人们能够任意选择一个点时。但是无论每条个别的辅助线可能会多么多余，证明的力量总是依赖于人们能够划出具有所要求性质的线。仅这样要求是不够的。在我们的情况中也是如此，“a+bi”是有一种意义还是仅仅是一片印刷油墨，这对于证明的力量不是无关紧要的。如果人们不先解释这里的“和”意谓什么，如果人们没有证明使用定冠词的合理性，那么要求它应该有一种意义，或者说其意义是a与bi的这个和，就是不够的。

    §103.针对我们想对“i”的意义作出的规定，当然可能有许多反对意见。我们通过这一规定把某种完全陌生的东西，即时间引入了算术。秒与实数根本没有任何内在联系。如果没有其他种类的证明，或者，如果无法为i找到其他意义，那么借助复数而证明的句子就是后验判断，或者说，仍然是综合判断。无论如何，必须首先努力说明所有算术句子都是分析的。

    科萨克（Kossak） [12] 在谈及复数时说：“复数是由具有彼此相等因素的各种不同种类的群所复合构成的表象”， [13] 这里他似乎避免了插入陌生的东西；但是这一表面现象也仅仅是因为这个表达是不明确的。1+i实际上意谓什么，这是一个苹果和一个梨的表象或牙痛和足痛风的表象吗？对此人们根本没有得到回答。它确实不能同时意谓这二者，因为若是那样，1+i与1+i就不会总相等。人们会说：这取决于特殊的规定。即使在这种情况下，我们从科萨克的句子中也还是没有得到复数的定义，而是只得到如何进行这种定义的一般说明。但是我们还需要更多的东西；我们必须明确地知道“i”意谓什么，而且，如果我们现在想按照那种说明说：“i”意谓一个梨的表象，那么我们又会把某种陌生的东西引入算术。

    人们通常称之为复数的几何体现的东西，至少比迄今为止考虑的尝试有以下优点：在这种体现中，1和i看上去不是完全没有联系的和不同种类的，而是这样的：被看作是体现出i的线段和体现出1的线段有某种合乎规律的联系。此外，严格地说，认为在这里1意谓某一线段，i意谓与它垂直的等长线段，这是不正确的，相反，“1”在任何地方都意谓相同的东西。这里，一个复数说明，被看作复数的体现的线段是如何从一个给定的线段（单位线段）通过复制、分割和旋转 [14] 而形成的。但是即使根据这种解释，每条必须依据一个复数的存在而证明的定理似乎仍然依赖于几何学的直觉，因而是综合的。

    §104.那么，我们应该如何得到分数、无理数和复数呢？如果我们求助直觉，我们就在算术中引入某种陌生的东西；但是如果我们仅仅通过标志规定这样一个数的概念，如果我们仅仅要求这个数有一定的性质，那么就无法保证也有某种东西处于这个概念之下并且符合我们的要求，而证明恰恰是必然依据于这种情况。

    那么在数的情况中又怎样呢？我们在直觉上没有得到 这么多对象以前真不能谈论 ）吗？它这么长时间一直是一个空符号吗？不！它有完全明确的意义，尽管鉴于我们生命的短暂，从心理学角度来说我们不能意识到这么多对象； [15] 但是尽管如此， 仍是一个对象，我们可以认识它的性质，即使它不是直观的。人们确信，引入an这个符号来表示幂，就表明如果a和n是正整数，那么以此总是表达出一个并且是唯一的一个正整数。若是详细证明如何能够形成这种情况，则会离题太远。在上文中，我们在§74解释零、在§77解释一、在§84解释无穷数∞1的方法，以及（§82-83）对在自然数系列中每个有穷数都有一个数紧跟的证明的说明中，都能够普遍看出这样一种情况。

    在对分数、复数等等的定义过程中，一切最终也将取决于寻找一个可判断的内容，这个内容可转变为一个等式，它的两边恰恰是新数。换言之，我们必须为这样的数规定一个重认判断的意义。这里必须注意我们讨论过的（§63-68）关于这样一种转化的疑虑。如果我们的做法与那里一样，那么新数就将作为概念的外延给予我们。

    §105.在我看来，根据这种关于数的观点， [16] 很容易说明研究算术和数学分析所产生的魅力。也许人们可以把一个著名的句子加以修改说：理性的真正对象就是理性。我们在算术中探讨一些对象，它们不是我们通过感官媒介从外界认识的某种陌生的东西，而是直接给予理性的东西，它们作为理性最独特的东西是理性完全可以洞察的。 [17]

    而且，或者说正因为如此，这些对象不是主观幻觉。不存在任何比算术规律更客观的东西。

    §106.让我们再简要地回顾一下我们的研究过程！我们确定了数既不是事物的堆集，也不是这样的性质，但是数也不是心灵过程的主观产物；而数的给出表达概念的某种客观的东西。然后，我们试图首先定义0、1等等这些个别的数和数序列中的进展。第一种尝试是不成功的，因为我们只定义了那些关于概念的陈述，而没有分别定义仅仅是这陈述一部分的0和1。结果，我们没能证明数的相等。这表明，不能把算术探讨的数看作一种不独立的性质，而必须把它看作是实体性的。 [18] 因此数作为可重认的对象出现，即使不作为物理的或仅仅空间的对象出现，也不作为我们通过想象力能够勾画出来的对象出现。接着我们提出一条基本原则：不能孤立地解释一个词的意谓，而必须在一个句子的联系中解释它，正像我相信的那样，只有遵循这一原则；才能避免关于数的物理观点，同时又不陷入心理学的观点。现在有一种句子，它们对每个对象必然都有意义，这就是重认句，在数的情况中叫作等式。我们看到，甚至数的给出也被看作等式。因此重要的是确定数的等式的意义，表达这种意义，而不使用数词或“数”这个词。我们把处于一个概念F之下的对象与处于一个概念G之下的对象一一对应起来的可能性，看作是关于数的一个重认判断的内容。因此，我们的定义必须规定，那种可能性与数的算式具有相同的意谓。我们想到类似的情况：由平行线得出的方向的定义；由类似性得出的形态的定义，等等。

    §107.接着产生一个问题：人们什么时候有理由把一种内容看作一个重认判断的内容？为此必须满足以下条件：在每个判断中，能够以尝试性假定的这个等式的右边替代左边，而不损害它的真。这时，若是不进一步增加其他定义，暂时从这样一个等式的左边或右边出发，那么我们知道的就只能恰恰是对相等的陈述。因此需要说明的只是等式中的可替代性。

    但是依然存在一种疑虑，即一个重认句必须总有一种意义。如果我们现在把使处于F这个概念之下的对象与处于G这个概念之下的对象一一对应起来的可能性看作一个等式，我们把这表达为：“属于F这个概念的这个数与属于G这个概念的这个数相等”并以此引入“属于F这个概念的这个数”这一表达式，那么，这个等式的两边若是都有上述形式，则这个等式只有一种意义。根据这样一种定义，如果一个等式只有一边有这种形式，我们就不能判断这个等式是真的还是假的。这促使我们定义：

    属于F这个概念的这个数是“与F这个概念等数的概念”这个概念的外延。这里，如果存在那种相互一一对应的可能性，我们就称一个概念F与一个概念G是等数的。

    在这个定义中，我们假定“概念的外延”这个表达式的意义为已知的。这种克服困难的方式大概不会得到普遍赞同，许多人将更愿意以其他方式消除上述疑虑。我也不认为诉诸概念的外延具有决定性的重要意义。

    §108.现在一一对应依然还有待于解释；我们把它化归为纯逻辑关系。这里我们先说明了下面这个句子的证明：如果F这个概念与G这个概念是等数的，那么属于F这个概念的这个数与属于G这个概念的这个数相等；然后我们定义了0这个数、“n在自然数序列中紧跟m”这个表达式和1这个数，并且表明：1在自然数序列中紧跟0。我们引用了几个在这一点上容易证明的句子，然后更详细地探讨了下面这个命题：

    在自然数序列中每一个数后面都跟着一个数。

    这个命题使人们认识到，数序列是无穷的。

    由此我们达到“隶属以n结束的自然数序列”这个概念，我们想以此表明，属于这个概念的数在自然数序列中紧跟n。我们首先借助在一个普遍的φ序列中对象y紧跟对象x来定义它。这个表达的意义也化归为纯逻辑关系。而且，由此成功地说明，从n到（n+1）这种通常被看作是数学特有的推理方式，是以普遍的逻辑推理方式为基础的。

    这时，为了证明数序列是无穷的，我们需要下面这个句子：在自然数序列中，任何有穷数都不跟着自身。因此我们达到有穷数和无穷数的概念。我们表明，后者的逻辑合理性基本上不小于前者。为了进行比较，谈到了康托尔的无穷数及其“连续中的后继”，这里指出了表达上的差异。

    §109.现在，由以上所有论述极其可能得出算术真命题的分析性和先验性；而且我们成功地改进了康德的观点。此外我们看到，把这种可能性上升为确实性还缺少什么，并且指出必然走向这一目的的道路。

    最后，我们利用我们的这些结果批评了一种关于负数、分数、无理数和复数的形式理论，我们的批评表明，这一理论显然是不充分的。我们认识到，这个理论的错误在于它认为，如果不表现出矛盾，就证明了概念的无矛盾性，而且概念的无矛盾性被看作是满足概念的充分保证。这个理论自以为它只需要提出要求；然后，满足这些要求就是不言而喻的。它的表现方式像一个天神，通过自己简单的言语就能创造出自己需要的东西。如果把如何进行定义的说明当作定义本身，那么也必须受到指责，因为根据这样一种说明，在算术中会引入陌生的东西，尽管它本身在表达上可能与定义无关，但这不过是因为它仅仅是一种说明。

    因此这种形式理论有倒退到后验的或依然是综合的理论的危险，无论它表面上怎么飘浮在抽象的顶峰上。

    前面我们关于正整数的考虑现在为我们表明，有可能避免把外在事物和几何直觉混淆起来，同时又不陷入那种形式理论的错误。正像在那里一样，重要的是规定一个重认判断的内容。如果我们处处考虑这一点，那么负数、分数、无理数和复数看上去就不比正整数更神秘，而正整数也不比负数、分数、无理数和复数更实在、更现实。

    * * *

    [1] 《复数系统理论》，第6、7页。

    [2] 《复数系统理论》，第106页，107页。

    [3] 同上书，§35。

    [4] 《复数系统理论》，第5页，科萨克也是同样，《算术基础》，第17页。

    [5] 康托尔的无穷数就属于类似情况。

    [6] 它总还可以得到其他方式的严格的证明。

    [7] 《复数系统理论》，第18页。

    [8] 实际上，汉克尔通过应用Θ（c,b）=a这个方程式就已经做这样的假定了。

    [9] 《复数系统理论》，第29页。

    [10] 我们可以同样有权选择一定的电子量、一定的平面面积等等作-1的平方根，但是这样我们就必须使用显然不同的符号来表示这些不同的根。如果想到，平方根的意谓并非在这些规定之前就已经被没有变化地确定下来，而是通过这些规定才一起被确定的，那么人们表面上能够创造出如此任意多-1的平方根，就不太令人惊讶了。

    [11] 参见科萨克：《算术基础》，第17页。

    [12] 科萨克：《算术基础》，第17页。

    [13] 关于“表象”这个表达，参见§27；关于涉及“聚合”的“群”，参见§23u.、§25的论述；关于因素的相等，参见§34-§39。

    [14] 为了简便，我在这里不考虑不可通约的情况。

    [15] 简单地大致计算一下就表明，几百万年的时间也不会够用。

    [16] 人们也可以把它说成是形式的，然而它与前面在这个名义下评价的观点完全不同。

    [17] 我这样说绝不是想否认，我们没有感觉印象就会木木呆呆，就会既不知道数也不知道其他一些东西；但是这个心理学句子在这里与我们根本没有关系。由于经常存在着混淆两种根本不同的问题的危险，我再次提出这一点。

    [18] 这种差别相应于“蓝的”和“天空的颜色”之间的差别。