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III.关于单位和一的看法
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“一”这个数词表达对象的一种性质吗？
§29.欧几里得在《几何基础》第七卷一开始给出的定义中，似乎用“μον＇αs”这个词有时表示一个可数的对象，有时表示这样一个对象的一种性质，有时表示一这个数。人们可以把它们都翻译为“单位”，但这仅仅是因为这个词本身表现出这些不同的意谓。
施罗德 [1] 说：“每一个可数的东西都被称为[一个]单位。”问题是，为什么要先使这些东西置于单位这个概念之下，而不是简单地解释说数是事物的集合呢，这又会使我们回到前面的观点。当人们根据语言形式把“一”看作形容词，并像理解“聪明人”那样理解“一个城市”时，人们可能是想首先把事物称为单位，从中找到更进一步的确定。在这种情况下，一个单位就会是一个对象，这个对象会带有“一”这种性质，而且它与“一”的关系就类似于“一个聪明人”与“聪明的”这个形容词的关系。上面已经提出一些理由反对数是事物的一种性质，对此这里还要特别补充几点。首先引人注意的是，每个事物都会有这种性质。这样就会令人无法理解，究竟为什么还要给一个事物明确地附加这种性质。仅仅由于这种可能性，即某种东西不是聪明的，梭伦是聪明的这个断定才获得一种意义。当一个概念的外延增加时，它的内涵就减少；如果它的外延包罗万象，那么它的内涵必然会完全消失。很难想象，语言如何能够创造出一个对于进一步确定一个对象根本就不会有用的形容词来。
如果可以像理解“聪明人”那样理解“一个人”，那么就应该想到“一”也可以作为谓词使用，因而正如人们说“梭伦是聪明的”那样，人们也可以说“梭伦是一”或“梭伦是一个”。即使最后这个表达式也可以出现，孤零零的这个表达式本身也是无法理解的。例如，如果在其语境中可以补充“聪明人”，它可以意谓：梭伦是一个聪明人。但是孤立的“一”似乎不能作谓词。 [2] 在复数情况下这表现得还要清楚一些。人们可以把“梭伦是聪明的”和“泰勒斯是聪明的”合并为“梭伦和泰勒斯是聪明的”，但是却不能说“梭伦和泰勒斯是一”。这里，如果“一”就像“聪明的”一样既是梭伦的性质又是泰勒斯的性质，那么看不出来为什么不能说“梭伦和泰勒斯是一”。
§30.与此相关的是人们从未能给“一”这种性质下定义。当莱布尼兹 [3] 说“一是我们通过一种理解行为把握的东西”时，他是通过一本身来解释“一”的。但是难道我们不能通过一种理解行为把握多吗？莱布尼兹在同一个地方承认了这一点。鲍曼 [4] 以类似的方式说：“一是我们理解为一的东西”，他还说：“我们把我们规定为点或不再规定为分开的东西看作一；但是我们也可以把外界直觉的每个一，无论经验的还是纯粹的，都看作多。每个表象若与另一个表象界限分明，就是一；但是每个表象自身又可以被区分为多。”因此概念的所有客观界限变得模糊不清，一切依赖于我们的理解。我们再一次问：如果根据理解每个对象都能够是一，也能够不是一，那么为任何一个对象赋予“一”这种性质能有什么意义呢？一门恰恰是致力于最大的明确性和精确性的科学，怎么能够依据一个如此含糊的概念呢？
§31.尽管鲍曼 [5] 允许一这个概念依据内心直觉，但在上述引文处他却把不可分性和分界性称为标志。如果这合乎实际，那么可以期待甚至动物也能有某种关于单位的表象。一条狗在看见月亮时是不是确实也有一个关于我们用“一”这个词所标志的东西的、即便还是极不确定的表象呢？很难！然而它肯定区别了某些个别对象：另一条狗，它的主人，它玩耍的一块石头，这些东西在它看来肯定是界限分明的，自身存在的，不可分的，正如在我们看来一样。尽管它会察觉一种区别：必须防御许多条狗的攻击还是仅防御一条狗的攻击，但是这被密尔称为物理的区别。特别重要的是，关于我们以“一”这个词表达的那种共性，譬如在它遭到一条更大的狗咬和它追踪一只猫这两种情况的共性，它是不是有一种意识，即使是极其模糊的意识，我认为这是难以想象的。我由此推论，正像洛克 [6] 认为的那样，单位这个观念不是通过外在的每个客体和内在的每个观念提供给理智，而是由于使我们与动物区别开来的这种更高的精神力量才被我们认识的。这样，动物和我们一样可以感到的不可分性和分界性这样的事物属性，就不可能是我们概念中本质的东西。
§32.然而人们仍然可以猜到某种联系。语言从“一”引申出“一体的”，这时语言就表明这种联系。某种东西本身的区别比起它周围环境的区别变得越不重要，它的内在联系越是超过它与周围环境的联系，就越适合于把这种东西理解为特殊的对象。因此“一体的”指一种性质，这种性质使人们在理解中把某种东西与周围环境分开，并且考虑这种东西本身。如果“uni”这个法文词意谓“平的”、“平坦的”，那么对这个词也应这样解释。在谈论一个国家的政治统一（单位），一件艺术作品的整体（单位）时，人们也以类似的方式使用“Einheit”（单位）这个词。 [7] 但是在这种意义上，“Ein-heit”与其说属于“一”，不如说属于“一体的”或“统一的”。因为，如果人们说地球有一个卫星，那么人们并不是要以此把这个卫星解释为一个界限分明的、自身存在的、不可分割的卫星；实际上，人们这样说是要表达出有别于与金星、火星或木星一起出现的那个东西。就分界性和不可分性来说，木星的卫星也许可以与我们的卫星相比，在这种意义上，它们也是统一的。
§33.不可分性被一些著作家提高成为不可分性。科普（G.Köpp） [8] 把每个被认为是不可分解的和自身存在的，感官可感觉或不是感官可感觉的东西称为个别的东西，把可数的个别的东西称为一，这里“一”显然是在“单位”的意义上使用的。鲍曼以我们可以把外在事物任意看作多为依据论证他的观点：外在事物不表现为严格的单位，这时，他也把不可分解性冒充为严格单位的一种标志。通过把内在联系提高成为绝对的，人们显然想获得一种不依赖于任意理解的单位的标志。这种努力失败了，因为在这样的情况下几乎留不下任何可称之为单位的可数的东西。因此，随着人们不是提出不可分解性作标志，而是提出被认为不可分解的东西作标志，人们立即又开始后退。结果人们又回到动摇不定的理解。那么把事物看作与实际上不同究竟会得到什么好处吗？恰恰相反！从错误的假定能够产生错误的推论。但是如果人们不想从不可分解性推出任何东西，它还有什么用处呢？如果人们能够放弃概念的严格性而无损于任何东西，甚至必须要放弃它，那么这种严格性还有什么用处呢？但是也许人们只是不应该考虑可分解性。好像由于没有思维，竟能够达到某种东西！但是有一些情况，在这些情况下，人们根本不可能避免思考可分解性，在这些情况下，一个推理甚至基于单位的复合构成，譬如在下面这个习题：一天有24小时，3天有多少小时？
* * *
[1] 《算术和代数课本》，第5页。
[2] 出现一些似乎与此矛盾的用法；但是如果更仔细地考虑，人们就会发现，应该补充一个概念词，或者不把“一”用作数词，应该断定的是单位性而不是单一性。
[3] 鲍曼：《论时间、空间和数学》，第2卷，第2页。
[4] 同上书，第2卷，第669页。
[5] 鲍曼：《论时间、空间和数学》，第2卷，第669页。
[6] 同上书，第1卷，第409页。
[7] 关于“单位”这个词的历史，参见欧克恩的《哲学术语历史》（Eucken,Geschichte der philosophischen Terminologie.S.122-123,S.136，S.220）。
[8] 科普：《小学算术》（Schularithmetik,Eisenbach,1867,S.5,u.6）。
单位是否彼此相等？
§34.因此各种解释“一”这种性质的企图都没有成功，而且我们大概必须放弃这样的观点：在把事物表示为单位时，必须有进一步的规定。我们又回到我们的问题：如果“单位”只是事物的另一个名字，如果所有事物都是单位或者可以被理解为单位，那么为什么称事物为单位呢？施罗德 [9] 提出归于计数物体的相等作为理由。首先看不出为什么“事物”和“对象”不能同样清楚地表示这一点。然后还有这样的问题，为什么把相等归于计数对象？是只把相等归于计数对象，还是对象真是相等的？无论如何绝没有两个对象是完全相等的。另一方面，人们也许几乎总能找出两个对象一致的方面。因此，如果我们不愿违背真而把超出适合事物的相等归于事物，我们就又回到任意的理解。实际上，许多著作家毫无保留地把单位称为相等的。霍布斯 [10] 说：“绝对地说，在数学中，数自身假设了那些它们借以形成的相等的单位。”休谟 [11] 认为量和数的组成部分是完全类似的。托迈 [12] 称一个集合的个体为单位，他说：“单位彼此是相等的。”人们可以同样有理由或者更正确地说：“集合的个体彼此是不同的。”那么这种所谓的相等对于数来说应该意谓什么呢？借以区别事物的性质，对于事物的数来说是某种无关紧要和陌生的东西。因此人们要避开它们。但是以这种方式无法做到这一点。如果人们像托迈要求的那样，“从一个实物集的个体的独特性进行抽象”，或者“在考虑分离的事物时不看借以区别事物的标志”，那么正像利普希兹认为的那样，没有留下“被考虑事物的数这个概念”，相反，人们得到一个普遍概念，考虑的那些事物就处于这个概念之下。这些事物并不因此丧失任何具有特殊性的东西。例如，如果我在考虑一只白猫和一只黑猫时不看它们借以相互区别的性质，那么我就可能得到“猫”这个概念。即使我现在把这两只猫置于这个概念之下，譬如把它们称为单位，这只白猫依然还是白的，这只黑猫依然还是黑的。即便是我不考虑颜色或决心不从颜色差异进行任何推论，这两只猫也不会变得没有颜色，它们依然像以前那样是不同的。通过抽象得到的“猫”这个概念，尽管不再含有那些特殊性，但是正因为如此它才仅仅是一。
§35.以纯概念的处理方式不能使不同的事物相等；但是如果能够做到这一点，人们就不会再有一些事物，而是只有一个事物；因为正像笛卡尔 [13] 所说，事物的数————或更恰当地说，复数————是由事物的区别产生的。E.施罗德 [14] 正确地断言：“只有在存在着相互间可以得到清晰的区别（譬如在空间和时间上分离开并且相互间界限分明）的对象的地方，才能以理性的方式提出计数事物的要求。”实际上，过于相似，譬如一个栅栏的栏杆的过于相似，有时使计数变得很难。在这种意义上，W. S.杰芬斯 [15] 特别尖锐地指出：“数只是表示差异的另一个名字。严格的同一就是单位，随着差异产生多。”他还说（S.157）：“人们常说，单位就是单位，只要它们彼此是完全相等的；但是，尽管它们在一些方面可能是完全相等的，它们至少在一点上必然是不同的；否则多这个概念就不能应用于它们。如果三枚硬币完全相等，以致它们在相同的时间占据相同的空间，那么它们就不会是三枚硬币，而是一枚硬币。”
§36.但是不久就表明，关于单位是不同的这样一种观点遇到了新的困难。杰芬斯解释说：“一个单位（unit）是思维的任何一个对象，这个对象能够与在同一个问题中被看作是单位的其他每一个对象区别开。”这里，单位通过自身被解释，“能够与……其他每一个对象区别开”这个补充说明不含有任何进一步的规定，因为它是自明的。我们称这个对象为另一个对象，恰恰只是因为我们从一开始就能够区别它。杰芬斯继续说 [16] ：“当我写下5这个符号时，我实际是意谓
1+1+1+1+1，
而且完全清楚，这些单位各个相互不同。如果需要，我可以如下标志它们：
。”
如果它们是不同的，那么肯定需要以不同的方式表示它们；否则就会产生最严重的混淆。如果出现一的这个不同的位置其实应该意谓一种差异，那么一定会把这当作没有例外的规则，因为否则人们就会无法知道，1+1应该意谓2还是意谓1。在这种情况下，人们一定会抛弃1+1这个等式并且会陷入绝不能第二次表示相同事物的窘境。这显然不行。但是如果人们想给予不同事物以不同的符号，那么就看不出人们为什么在这些符号中还留有一种共同的成分，人们为什么不愿意抛弃
，
而写 a+b+c+d+e。
现在确实已经失去相等，而且对一定的相似性的说明也毫无用处。就这样，一在我们手中化为乌有；我们得到带有其一切特殊性的对象。
1′,1″,1……
这些符号生动地表达了下面这种窘境：我们必须有相等；因此必须有1；我们必须有差异；因此必须有小撇，不过遗憾的是，这些小撇又扬弃了相等。
§37.在其他著作家那里，我们遇到相同的困难。洛克 [17] 说：“通过重复一个单位这个观念并且把这个观念加到另一个单位上，这样我们就构成一个以‘二 ’这个词表示的集合观念。而且，谁能这样做并能继续做下去，在他关于一个数的最后一个集合观念上总是再加一，并且能给它一个名字，谁就能够计数。”莱布尼兹 [18] 把数定义为1加1加1，或定义为单位。黑塞（Hesse） [19] 说：“如果人们关于代数中以符号1表达的这个单位能够形成一个表象，……那么人们也能考虑第二个有同等权利的单位以及其他这一类单位。第二个单位与第一个单位结合成为一个整体，产生了2这个数。”
这里应该注意“单位”和“一”这两个词的意谓的相互关系。莱布尼兹把单位理解为一个概念，一加一加一加一处于这个概念之下，正像他还说的那样：“一的抽象是单位。”洛克和黑塞似乎用单位和一意谓相同的东西。其实莱布尼兹也正是这样做的；因为当他把处于单位这个概念之下的个别对象都称为一时，他用这个词表示的不是个别对象，而是个别对象处其之下的概念。
§38.然而为了不使混乱蔓延，最好在单位和一之间保持严格的区别。人们说“一这个数”（“die Zahl Eins”）并且以这里的定冠词意谓科学研究的一个确定的唯一的对象。没有不同的数一，而是只有一个。我们以1得到一个专名，作为一个专名，它不能有复数，就像“腓特烈大帝”或“金这个化学元素”一样。人们写1没有笔画区别，这不是偶然的，也不是一种不精确的标记方式。对于
3-2＝1
这个等式,St.杰芬斯会重写为譬如： 。
但是，
的结果会是什么呢？无论如何不是1′。由此可见，根据他的观点，不仅会有不同的一，而且会有不同的二，如此等等；因为1″+1不能由 替代。人们由此清晰地看出，数不是事物的累积。如果想用不同的事物取代总是相同的一，那么即使是用十分相似的符号，也会取消算术；这些符号甚至不可能是毫无错误地相同的。然而人们不能假定，算术最根本需要的是一种有错误的书写。因此不可能把1看作是表示不同对象譬如冰岛、毕宿五、梭伦等等的符号。当人们考虑一个方程式有三个根，即2、5和4这种情况时，这种荒谬就变得最为明显。如果现在按照杰芬斯写出
表示3，在这种情况下，如果把1′、1″、 理解为单位，因而按照杰芬斯把它们理解为这里出现的思维的对象，那么在这里就会是1′意谓2，1″意谓5， 意谓4。那么写下 2+5+4
表示1′+1″+ ，难道不是更明白吗？ 复数仅对于概念词才是可能的。因此，如果人们谈到“（一些）单位（Einheiten ）”，那么使用这个词就不能与“一”这个专名有相同的意谓，而是用它作为概念词。如果“单位”意谓“被计数的对象”，那么就不能把数定义为（一些）单位。如果人们把“单位”理解为包含一并且只包含一的概念，那么复数就没有意义，而且也不可能随莱布尼兹把数定义为单位或定义为1加1加1。如果像在《本生和教堂墓地》中那样使用“加” [20] ，那么1加1加1就不是3，而是1，就像金子加金子加金子绝不是不同于金子的东西。因此，必须把
1+1+1＝3
中的加法符号理解为与“加”不同的东西，“加”帮助人们表达一种汇集，一种“集合的观念”。 §39.因此我们面临着下面的困难：
如果我们想通过不同对象的结合而形成数，我们就得到一种包含着这样一些对象的聚集，这些对象恰恰带有使它们相互区别的性质；而且这并不是数。另一方面，如果我们想通过把相同的东西结合在一起而建立数，那么这总是汇合成为一，我们绝达不到多。
如果我们用1表示每个被计数对象，这就是错误的，因为不同的东西得到了相同的符号。如果我们为1加上区别的笔画，它对于算术就成了无法应用的。
“单位”这个词非常适合于掩盖这个困难；而且这是人们不喜欢“对象”和“事物”这些词而更喜欢它的————甚至还是无意识的————原因。人们首先把被计数事物称为单位，这里差异保持其合法地位；然后，联结、汇集、结合、添加或像人们愿意使用的其他说法，转变为算术加法这个概念，而“单位”这个概念词不知不觉地变成“一”这个专名。这样人们就有了相等。如果我在u这个字母后面添加一个n，并在n后面添加一个d，那么谁都很容易看出，这不是3这个数。但是如果我把u、n和d置于“单位”这个概念之下，然后不说“u和n和d”，而说“一个单位和一个单位再和一个单位”或“1和1和1”，那么人们以此很容易相信得到了3。困难通过“单位”这个词十分巧妙地隐蔽起来，以致知道这困难存在的人确实寥寥无几。
这里，密尔其实有权批评对语言的一种高超运用；因为这里的语言运用不是一种思维过程的外在现象，而只是这样一种过程的假象。这里人们实际上有一种印象，好像如果不同的东西仅仅由于被称为单位就变成相等的，那么毫无思想的词就被赋予了某种神秘的力量。
* * *
[1] 《算术和代数课本》，第5页。
[2] 鲍曼：《论时间、空间和数学》，第1卷，第242页。
[3] 艾本达，第2卷，第568页。
[4] 《分析函数基础理论》，第1页。
[5] 鲍曼：《论时间、空间和数学》，第1卷，第103页。
[6] 《算术和代数课本》，第3页。
[7] 《科学原理》（The Principles of Science,3d.Ed.S.156）。
[8] 《科学原理》，第162页。
[9] 鲍曼：《论时间、空间和数学》，第1卷，410-411页。
[10] 同上书，第1卷，第3页。
[11] 《四个种》（Vier Species，S.2）。
[12] 德文“und”有“和”和“加”的意思。《本生和教堂墓地》中的“和”与“1加1加1”中的“加” 都是“und”，德文无区别，而中文要有不同的译法。————译者
克服这个困难的尝试
§40.现在我们考察几种解释，这些解释表现出人们试图克服这个困难，尽管人们在进行这些解释时并没有始终清楚地意识到这一目的。
人们可以首先借助时间和空间的性质。就其自身考虑，一个空间点与另一个空间点，一条直线与另一条直线，或者一个平面与另一个平面，是根本不能区别的，全等的立体、面积或线段相互之间是根本不能区别的。它们只有作为一种总体直觉的组成部分共同存在时，才能得到区别。因此在这里，似乎相等与可区别性结合起来，类似的情况也适合于时间。霍布斯 [21] 大概是由此认为，几乎不能想象，单位的相等竟不是通过连续统的划分而形成的。托迈 [22] 说：“如果人们想象空间中个体或单位的一个集合，并且连续数这些个体或单位，对此时间又是必要的，那么在抽象过程中，依然要留下这些单位在空间中的不同位置及在时间中不同的相继次序作为单位的区别标志。”
对于这样一种理解方式首先产生了以下异议：如果这样，可计数的东西就会仅限于空间的东西和时间的东西。莱布尼兹 [23] 就已经批驳了经院学家下面这种现点：数是由仅仅对连续统的划分而形成的，不能用于非物体的东西。鲍曼 [24] 强调不依赖于数和时间的性质。即使没有时间，单位这个概念也是可以想象的。杰芬斯 [25] 说：“三枚硬币就是三枚硬币，无论我们是一个接一个地数它们，还是同时考虑它们。在许多情况下，时间和空间都不是差异的理由，而只有质是差异的理由。我们可以把金子的重量、惯性和硬度理解为三种性质，尽管它们在时间和空间中任何一个也不在另一个之前，任何一个也不在另一个之后。进行区别的各种方法都能成为多的来源。”我要补充说：如果被计数的对象不是实际上一个跟着一个，而仅仅是一个跟着一个被计数，那么时间就不能是进行区别的理由。因为，为了能够一个接一个地计数它们，我们必须已经有用以区别的记号。时间只是计数的一种心理要求，与数这个概念却没有任何关系。如果人们允许以空间或时间点来表现非空间和非时间的对象，那么这对计数的解释也许能够有好处；但是从根本上说，这里预先假设了数概念可以应用于非空间和非时间的东西。
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§29.欧几里得在《几何基础》第七卷一开始给出的定义中，似乎用“μον＇αs”这个词有时表示一个可数的对象，有时表示这样一个对象的一种性质，有时表示一这个数。人们可以把它们都翻译为“单位”，但这仅仅是因为这个词本身表现出这些不同的意谓。
施罗德 [1] 说：“每一个可数的东西都被称为[一个]单位。”问题是，为什么要先使这些东西置于单位这个概念之下，而不是简单地解释说数是事物的集合呢，这又会使我们回到前面的观点。当人们根据语言形式把“一”看作形容词，并像理解“聪明人”那样理解“一个城市”时，人们可能是想首先把事物称为单位，从中找到更进一步的确定。在这种情况下，一个单位就会是一个对象，这个对象会带有“一”这种性质，而且它与“一”的关系就类似于“一个聪明人”与“聪明的”这个形容词的关系。上面已经提出一些理由反对数是事物的一种性质，对此这里还要特别补充几点。首先引人注意的是，每个事物都会有这种性质。这样就会令人无法理解，究竟为什么还要给一个事物明确地附加这种性质。仅仅由于这种可能性，即某种东西不是聪明的，梭伦是聪明的这个断定才获得一种意义。当一个概念的外延增加时，它的内涵就减少；如果它的外延包罗万象，那么它的内涵必然会完全消失。很难想象，语言如何能够创造出一个对于进一步确定一个对象根本就不会有用的形容词来。
如果可以像理解“聪明人”那样理解“一个人”，那么就应该想到“一”也可以作为谓词使用，因而正如人们说“梭伦是聪明的”那样，人们也可以说“梭伦是一”或“梭伦是一个”。即使最后这个表达式也可以出现，孤零零的这个表达式本身也是无法理解的。例如，如果在其语境中可以补充“聪明人”，它可以意谓：梭伦是一个聪明人。但是孤立的“一”似乎不能作谓词。 [2] 在复数情况下这表现得还要清楚一些。人们可以把“梭伦是聪明的”和“泰勒斯是聪明的”合并为“梭伦和泰勒斯是聪明的”，但是却不能说“梭伦和泰勒斯是一”。这里，如果“一”就像“聪明的”一样既是梭伦的性质又是泰勒斯的性质，那么看不出来为什么不能说“梭伦和泰勒斯是一”。
§30.与此相关的是人们从未能给“一”这种性质下定义。当莱布尼兹 [3] 说“一是我们通过一种理解行为把握的东西”时，他是通过一本身来解释“一”的。但是难道我们不能通过一种理解行为把握多吗？莱布尼兹在同一个地方承认了这一点。鲍曼 [4] 以类似的方式说：“一是我们理解为一的东西”，他还说：“我们把我们规定为点或不再规定为分开的东西看作一；但是我们也可以把外界直觉的每个一，无论经验的还是纯粹的，都看作多。每个表象若与另一个表象界限分明，就是一；但是每个表象自身又可以被区分为多。”因此概念的所有客观界限变得模糊不清，一切依赖于我们的理解。我们再一次问：如果根据理解每个对象都能够是一，也能够不是一，那么为任何一个对象赋予“一”这种性质能有什么意义呢？一门恰恰是致力于最大的明确性和精确性的科学，怎么能够依据一个如此含糊的概念呢？
§31.尽管鲍曼 [5] 允许一这个概念依据内心直觉，但在上述引文处他却把不可分性和分界性称为标志。如果这合乎实际，那么可以期待甚至动物也能有某种关于单位的表象。一条狗在看见月亮时是不是确实也有一个关于我们用“一”这个词所标志的东西的、即便还是极不确定的表象呢？很难！然而它肯定区别了某些个别对象：另一条狗，它的主人，它玩耍的一块石头，这些东西在它看来肯定是界限分明的，自身存在的，不可分的，正如在我们看来一样。尽管它会察觉一种区别：必须防御许多条狗的攻击还是仅防御一条狗的攻击，但是这被密尔称为物理的区别。特别重要的是，关于我们以“一”这个词表达的那种共性，譬如在它遭到一条更大的狗咬和它追踪一只猫这两种情况的共性，它是不是有一种意识，即使是极其模糊的意识，我认为这是难以想象的。我由此推论，正像洛克 [6] 认为的那样，单位这个观念不是通过外在的每个客体和内在的每个观念提供给理智，而是由于使我们与动物区别开来的这种更高的精神力量才被我们认识的。这样，动物和我们一样可以感到的不可分性和分界性这样的事物属性，就不可能是我们概念中本质的东西。
§32.然而人们仍然可以猜到某种联系。语言从“一”引申出“一体的”，这时语言就表明这种联系。某种东西本身的区别比起它周围环境的区别变得越不重要，它的内在联系越是超过它与周围环境的联系，就越适合于把这种东西理解为特殊的对象。因此“一体的”指一种性质，这种性质使人们在理解中把某种东西与周围环境分开，并且考虑这种东西本身。如果“uni”这个法文词意谓“平的”、“平坦的”，那么对这个词也应这样解释。在谈论一个国家的政治统一（单位），一件艺术作品的整体（单位）时，人们也以类似的方式使用“Einheit”（单位）这个词。 [7] 但是在这种意义上，“Ein-heit”与其说属于“一”，不如说属于“一体的”或“统一的”。因为，如果人们说地球有一个卫星，那么人们并不是要以此把这个卫星解释为一个界限分明的、自身存在的、不可分割的卫星；实际上，人们这样说是要表达出有别于与金星、火星或木星一起出现的那个东西。就分界性和不可分性来说，木星的卫星也许可以与我们的卫星相比，在这种意义上，它们也是统一的。
§33.不可分性被一些著作家提高成为不可分性。科普（G.Köpp） [8] 把每个被认为是不可分解的和自身存在的，感官可感觉或不是感官可感觉的东西称为个别的东西，把可数的个别的东西称为一，这里“一”显然是在“单位”的意义上使用的。鲍曼以我们可以把外在事物任意看作多为依据论证他的观点：外在事物不表现为严格的单位，这时，他也把不可分解性冒充为严格单位的一种标志。通过把内在联系提高成为绝对的，人们显然想获得一种不依赖于任意理解的单位的标志。这种努力失败了，因为在这样的情况下几乎留不下任何可称之为单位的可数的东西。因此，随着人们不是提出不可分解性作标志，而是提出被认为不可分解的东西作标志，人们立即又开始后退。结果人们又回到动摇不定的理解。那么把事物看作与实际上不同究竟会得到什么好处吗？恰恰相反！从错误的假定能够产生错误的推论。但是如果人们不想从不可分解性推出任何东西，它还有什么用处呢？如果人们能够放弃概念的严格性而无损于任何东西，甚至必须要放弃它，那么这种严格性还有什么用处呢？但是也许人们只是不应该考虑可分解性。好像由于没有思维，竟能够达到某种东西！但是有一些情况，在这些情况下，人们根本不可能避免思考可分解性，在这些情况下，一个推理甚至基于单位的复合构成，譬如在下面这个习题：一天有24小时，3天有多少小时？
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[1] 《算术和代数课本》，第5页。
[2] 出现一些似乎与此矛盾的用法；但是如果更仔细地考虑，人们就会发现，应该补充一个概念词，或者不把“一”用作数词，应该断定的是单位性而不是单一性。
[3] 鲍曼：《论时间、空间和数学》，第2卷，第2页。
[4] 同上书，第2卷，第669页。
[5] 鲍曼：《论时间、空间和数学》，第2卷，第669页。
[6] 同上书，第1卷，第409页。
[7] 关于“单位”这个词的历史，参见欧克恩的《哲学术语历史》（Eucken,Geschichte der philosophischen Terminologie.S.122-123,S.136，S.220）。
[8] 科普：《小学算术》（Schularithmetik,Eisenbach,1867,S.5,u.6）。
单位是否彼此相等？
§34.因此各种解释“一”这种性质的企图都没有成功，而且我们大概必须放弃这样的观点：在把事物表示为单位时，必须有进一步的规定。我们又回到我们的问题：如果“单位”只是事物的另一个名字，如果所有事物都是单位或者可以被理解为单位，那么为什么称事物为单位呢？施罗德 [9] 提出归于计数物体的相等作为理由。首先看不出为什么“事物”和“对象”不能同样清楚地表示这一点。然后还有这样的问题，为什么把相等归于计数对象？是只把相等归于计数对象，还是对象真是相等的？无论如何绝没有两个对象是完全相等的。另一方面，人们也许几乎总能找出两个对象一致的方面。因此，如果我们不愿违背真而把超出适合事物的相等归于事物，我们就又回到任意的理解。实际上，许多著作家毫无保留地把单位称为相等的。霍布斯 [10] 说：“绝对地说，在数学中，数自身假设了那些它们借以形成的相等的单位。”休谟 [11] 认为量和数的组成部分是完全类似的。托迈 [12] 称一个集合的个体为单位，他说：“单位彼此是相等的。”人们可以同样有理由或者更正确地说：“集合的个体彼此是不同的。”那么这种所谓的相等对于数来说应该意谓什么呢？借以区别事物的性质，对于事物的数来说是某种无关紧要和陌生的东西。因此人们要避开它们。但是以这种方式无法做到这一点。如果人们像托迈要求的那样，“从一个实物集的个体的独特性进行抽象”，或者“在考虑分离的事物时不看借以区别事物的标志”，那么正像利普希兹认为的那样，没有留下“被考虑事物的数这个概念”，相反，人们得到一个普遍概念，考虑的那些事物就处于这个概念之下。这些事物并不因此丧失任何具有特殊性的东西。例如，如果我在考虑一只白猫和一只黑猫时不看它们借以相互区别的性质，那么我就可能得到“猫”这个概念。即使我现在把这两只猫置于这个概念之下，譬如把它们称为单位，这只白猫依然还是白的，这只黑猫依然还是黑的。即便是我不考虑颜色或决心不从颜色差异进行任何推论，这两只猫也不会变得没有颜色，它们依然像以前那样是不同的。通过抽象得到的“猫”这个概念，尽管不再含有那些特殊性，但是正因为如此它才仅仅是一。
§35.以纯概念的处理方式不能使不同的事物相等；但是如果能够做到这一点，人们就不会再有一些事物，而是只有一个事物；因为正像笛卡尔 [13] 所说，事物的数————或更恰当地说，复数————是由事物的区别产生的。E.施罗德 [14] 正确地断言：“只有在存在着相互间可以得到清晰的区别（譬如在空间和时间上分离开并且相互间界限分明）的对象的地方，才能以理性的方式提出计数事物的要求。”实际上，过于相似，譬如一个栅栏的栏杆的过于相似，有时使计数变得很难。在这种意义上，W. S.杰芬斯 [15] 特别尖锐地指出：“数只是表示差异的另一个名字。严格的同一就是单位，随着差异产生多。”他还说（S.157）：“人们常说，单位就是单位，只要它们彼此是完全相等的；但是，尽管它们在一些方面可能是完全相等的，它们至少在一点上必然是不同的；否则多这个概念就不能应用于它们。如果三枚硬币完全相等，以致它们在相同的时间占据相同的空间，那么它们就不会是三枚硬币，而是一枚硬币。”
§36.但是不久就表明，关于单位是不同的这样一种观点遇到了新的困难。杰芬斯解释说：“一个单位（unit）是思维的任何一个对象，这个对象能够与在同一个问题中被看作是单位的其他每一个对象区别开。”这里，单位通过自身被解释，“能够与……其他每一个对象区别开”这个补充说明不含有任何进一步的规定，因为它是自明的。我们称这个对象为另一个对象，恰恰只是因为我们从一开始就能够区别它。杰芬斯继续说 [16] ：“当我写下5这个符号时，我实际是意谓
1+1+1+1+1，
而且完全清楚，这些单位各个相互不同。如果需要，我可以如下标志它们：
。”
如果它们是不同的，那么肯定需要以不同的方式表示它们；否则就会产生最严重的混淆。如果出现一的这个不同的位置其实应该意谓一种差异，那么一定会把这当作没有例外的规则，因为否则人们就会无法知道，1+1应该意谓2还是意谓1。在这种情况下，人们一定会抛弃1+1这个等式并且会陷入绝不能第二次表示相同事物的窘境。这显然不行。但是如果人们想给予不同事物以不同的符号，那么就看不出人们为什么在这些符号中还留有一种共同的成分，人们为什么不愿意抛弃
，
而写 a+b+c+d+e。
现在确实已经失去相等，而且对一定的相似性的说明也毫无用处。就这样，一在我们手中化为乌有；我们得到带有其一切特殊性的对象。
1′,1″,1……
这些符号生动地表达了下面这种窘境：我们必须有相等；因此必须有1；我们必须有差异；因此必须有小撇，不过遗憾的是，这些小撇又扬弃了相等。
§37.在其他著作家那里，我们遇到相同的困难。洛克 [17] 说：“通过重复一个单位这个观念并且把这个观念加到另一个单位上，这样我们就构成一个以‘二 ’这个词表示的集合观念。而且，谁能这样做并能继续做下去，在他关于一个数的最后一个集合观念上总是再加一，并且能给它一个名字，谁就能够计数。”莱布尼兹 [18] 把数定义为1加1加1，或定义为单位。黑塞（Hesse） [19] 说：“如果人们关于代数中以符号1表达的这个单位能够形成一个表象，……那么人们也能考虑第二个有同等权利的单位以及其他这一类单位。第二个单位与第一个单位结合成为一个整体，产生了2这个数。”
这里应该注意“单位”和“一”这两个词的意谓的相互关系。莱布尼兹把单位理解为一个概念，一加一加一加一处于这个概念之下，正像他还说的那样：“一的抽象是单位。”洛克和黑塞似乎用单位和一意谓相同的东西。其实莱布尼兹也正是这样做的；因为当他把处于单位这个概念之下的个别对象都称为一时，他用这个词表示的不是个别对象，而是个别对象处其之下的概念。
§38.然而为了不使混乱蔓延，最好在单位和一之间保持严格的区别。人们说“一这个数”（“die Zahl Eins”）并且以这里的定冠词意谓科学研究的一个确定的唯一的对象。没有不同的数一，而是只有一个。我们以1得到一个专名，作为一个专名，它不能有复数，就像“腓特烈大帝”或“金这个化学元素”一样。人们写1没有笔画区别，这不是偶然的，也不是一种不精确的标记方式。对于
3-2＝1
这个等式,St.杰芬斯会重写为譬如： 。
但是，
的结果会是什么呢？无论如何不是1′。由此可见，根据他的观点，不仅会有不同的一，而且会有不同的二，如此等等；因为1″+1不能由 替代。人们由此清晰地看出，数不是事物的累积。如果想用不同的事物取代总是相同的一，那么即使是用十分相似的符号，也会取消算术；这些符号甚至不可能是毫无错误地相同的。然而人们不能假定，算术最根本需要的是一种有错误的书写。因此不可能把1看作是表示不同对象譬如冰岛、毕宿五、梭伦等等的符号。当人们考虑一个方程式有三个根，即2、5和4这种情况时，这种荒谬就变得最为明显。如果现在按照杰芬斯写出
表示3，在这种情况下，如果把1′、1″、 理解为单位，因而按照杰芬斯把它们理解为这里出现的思维的对象，那么在这里就会是1′意谓2，1″意谓5， 意谓4。那么写下 2+5+4
表示1′+1″+ ，难道不是更明白吗？ 复数仅对于概念词才是可能的。因此，如果人们谈到“（一些）单位（Einheiten ）”，那么使用这个词就不能与“一”这个专名有相同的意谓，而是用它作为概念词。如果“单位”意谓“被计数的对象”，那么就不能把数定义为（一些）单位。如果人们把“单位”理解为包含一并且只包含一的概念，那么复数就没有意义，而且也不可能随莱布尼兹把数定义为单位或定义为1加1加1。如果像在《本生和教堂墓地》中那样使用“加” [20] ，那么1加1加1就不是3，而是1，就像金子加金子加金子绝不是不同于金子的东西。因此，必须把
1+1+1＝3
中的加法符号理解为与“加”不同的东西，“加”帮助人们表达一种汇集，一种“集合的观念”。 §39.因此我们面临着下面的困难：
如果我们想通过不同对象的结合而形成数，我们就得到一种包含着这样一些对象的聚集，这些对象恰恰带有使它们相互区别的性质；而且这并不是数。另一方面，如果我们想通过把相同的东西结合在一起而建立数，那么这总是汇合成为一，我们绝达不到多。
如果我们用1表示每个被计数对象，这就是错误的，因为不同的东西得到了相同的符号。如果我们为1加上区别的笔画，它对于算术就成了无法应用的。
“单位”这个词非常适合于掩盖这个困难；而且这是人们不喜欢“对象”和“事物”这些词而更喜欢它的————甚至还是无意识的————原因。人们首先把被计数事物称为单位，这里差异保持其合法地位；然后，联结、汇集、结合、添加或像人们愿意使用的其他说法，转变为算术加法这个概念，而“单位”这个概念词不知不觉地变成“一”这个专名。这样人们就有了相等。如果我在u这个字母后面添加一个n，并在n后面添加一个d，那么谁都很容易看出，这不是3这个数。但是如果我把u、n和d置于“单位”这个概念之下，然后不说“u和n和d”，而说“一个单位和一个单位再和一个单位”或“1和1和1”，那么人们以此很容易相信得到了3。困难通过“单位”这个词十分巧妙地隐蔽起来，以致知道这困难存在的人确实寥寥无几。
这里，密尔其实有权批评对语言的一种高超运用；因为这里的语言运用不是一种思维过程的外在现象，而只是这样一种过程的假象。这里人们实际上有一种印象，好像如果不同的东西仅仅由于被称为单位就变成相等的，那么毫无思想的词就被赋予了某种神秘的力量。
* * *
[1] 《算术和代数课本》，第5页。
[2] 鲍曼：《论时间、空间和数学》，第1卷，第242页。
[3] 艾本达，第2卷，第568页。
[4] 《分析函数基础理论》，第1页。
[5] 鲍曼：《论时间、空间和数学》，第1卷，第103页。
[6] 《算术和代数课本》，第3页。
[7] 《科学原理》（The Principles of Science,3d.Ed.S.156）。
[8] 《科学原理》，第162页。
[9] 鲍曼：《论时间、空间和数学》，第1卷，410-411页。
[10] 同上书，第1卷，第3页。
[11] 《四个种》（Vier Species，S.2）。
[12] 德文“und”有“和”和“加”的意思。《本生和教堂墓地》中的“和”与“1加1加1”中的“加” 都是“und”，德文无区别，而中文要有不同的译法。————译者
克服这个困难的尝试
§40.现在我们考察几种解释，这些解释表现出人们试图克服这个困难，尽管人们在进行这些解释时并没有始终清楚地意识到这一目的。
人们可以首先借助时间和空间的性质。就其自身考虑，一个空间点与另一个空间点，一条直线与另一条直线，或者一个平面与另一个平面，是根本不能区别的，全等的立体、面积或线段相互之间是根本不能区别的。它们只有作为一种总体直觉的组成部分共同存在时，才能得到区别。因此在这里，似乎相等与可区别性结合起来，类似的情况也适合于时间。霍布斯 [21] 大概是由此认为，几乎不能想象，单位的相等竟不是通过连续统的划分而形成的。托迈 [22] 说：“如果人们想象空间中个体或单位的一个集合，并且连续数这些个体或单位，对此时间又是必要的，那么在抽象过程中，依然要留下这些单位在空间中的不同位置及在时间中不同的相继次序作为单位的区别标志。”
对于这样一种理解方式首先产生了以下异议：如果这样，可计数的东西就会仅限于空间的东西和时间的东西。莱布尼兹 [23] 就已经批驳了经院学家下面这种现点：数是由仅仅对连续统的划分而形成的，不能用于非物体的东西。鲍曼 [24] 强调不依赖于数和时间的性质。即使没有时间，单位这个概念也是可以想象的。杰芬斯 [25] 说：“三枚硬币就是三枚硬币，无论我们是一个接一个地数它们，还是同时考虑它们。在许多情况下，时间和空间都不是差异的理由，而只有质是差异的理由。我们可以把金子的重量、惯性和硬度理解为三种性质，尽管它们在时间和空间中任何一个也不在另一个之前，任何一个也不在另一个之后。进行区别的各种方法都能成为多的来源。”我要补充说：如果被计数的对象不是实际上一个跟着一个，而仅仅是一个跟着一个被计数，那么时间就不能是进行区别的理由。因为，为了能够一个接一个地计数它们，我们必须已经有用以区别的记号。时间只是计数的一种心理要求，与数这个概念却没有任何关系。如果人们允许以空间或时间点来表现非空间和非时间的对象，那么这对计数的解释也许能够有好处；但是从根本上说，这里预先假设了数概念可以应用于非空间和非时间的东西。
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